Questão 10

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 2ª fase)

Considere um triângulo ABC.

a) Supondo que ABC é um triângulo retângulo com perímetro igual a 16 cm e hipotenusa de comprimento 7 cm, calcule sua área.

b) Sabendo que em um triângulo qualquer a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados é sempre maior que o comprimento do terceiro lado e assumindo que as medidas dos lados de um certo triângulo são $a,a^{2},a^{3}$ , calcule os possíveis valores de $a$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Contruindo um triângulo retangulo de hipotenusa medido 7 cm e catetos $x$ e $y$ , temos a seguinte figura:

Como o perimetro da triângulo é igual a 16, então:

$x+y+7=16$

$x+y=16-7$

$x+y=9,(I)$

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$x^2+y^2=7^2$

$x^2+y^2=49,(II)$

Construindo um sistema com essa duas equações:

$left{egin{matrix} x +y = 9 &(I)\ x^2+ y^2 = 49 &(II)end{matrix} ight.$

Elevando a equação $(I)$ ao quadradado:

$left{egin{matrix} (x +y)^2 = 9^2\ x^2+ y^2 = 49 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x^2 +y^2+2xy = 81 \ x^2+ y^2 = 49 end{matrix} ight.$

Multiplicando a equação $(II)$ por $(-1)$

$left{egin{matrix} x^2 +y^2+2xy = 81 \ -x^2- y^2 = -49 end{matrix} ight.$

Somando as equações:

$2xy=32$

$xy=16$

Como $x$ e $y$ são catetos de uma triângulo retângulo então $A_T=frac{xcdot y}{2}$ . Por tanto $A_T=frac{xcdot y}{2}=frac{16}{2}=8,cm^2$ .

b) Considerando que $a$ é uma medida de lado, então temos duas opções: $0<a<1$ ou $ageq 1$ .

Para $0<a<1$ : temos que $a$ será o maior lado do triângulo, então

$a<a^2+a^3$

$a-a^2-a^3<0$

$a(1-a-a^2)<0$

Como $a>0$ , então

$1-a-a^2<0$

Resolvendo a equação do 2° Grau:

$1-a-a^2=0$

$a=frac{-1pm sqrt{1^2-4cdot 1cdot (-1)}}{2cdot 1}$

$a=frac{-1pm sqrt{1+4}}{2}$

$a=frac{-1pm sqrt{5}}{2}$

Logo $frac{-1- sqrt{5}}{2}<a<frac{-1+ sqrt{5}}{2}$ . Como $0<a<1$ , então a solução para $0<a<1$ é $S_1=left { frac{-1+sqrt{5}}{2}<a<1 ight }$

Para $ageq 1$

$a^3<a^2+a$

$a^3-a^2-a<0$

$a(a^2-a-1)<0$

Como $a>0$ , então

$a^2-a-1<0$

Resolvendo a equação do 2° Grau:

$a^2-a-1=0$

$a=frac{-(-1)pm sqrt{(-1)^2-4cdot 1cdot (-1)}}{2cdot 1}$

$a=frac{1pm sqrt{1+4}}{2}$

$a=frac{1pm sqrt{5}}{2}$

Logo $frac{1- sqrt{5}}{2}<a<frac{1+ sqrt{5}}{2}$ . Como $a>0$ , então a solução para $a>0$ é $S_2=left { 1leq a< frac{1+sqrt{5}}{2} ight }$

Fazendo a união dos dois intervalos temos:

$S=S_1cup S_2=left { frac{-1+sqrt{5}}{2}<a<frac{1+sqrt{5}}{2} ight }$

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