Questão 48

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 1ª fase)

Três números reais distintos a, b, c são tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O valor do produto abc é

1/8.

−1.

Gabarito:

−1.

Resolução:

Temos então duas PA's:

$PA_1 = (a;b;c)$

$PA_2 = (ab;bc;ca)$

Chamando a razão de $r$ temos que: $a=b-r$ e $c=b+r$ , então:

$PA_2 = [(b-r)b;b(b+r);(b+r)(b-r)]$

$PA_2 = [(b^2 - br; b^2 + br; b^2 - r^2]$

Agora temos a relação:

$b^2 - br +r=b^2 + br$

$- br +r=br$

$r=2br$

$1=2b$

$b = frac{1}{2}$

Agora analisando outra relação:

$b^2 - r^2 = b^2+br+r$

$-r^2 =br+r$

$-r^2 -r=br$

$r(-r -1)=br$

$-r -1=b$

$-r -1=frac{1}{2}$

$r=-1-frac{1}{2}$

$r=-frac{3}{2}$

Agora encontrando $a, b, c$ :

$a = b-r$

$a = frac{1}{2} - (-frac{3}{2})$

$a = 2$

$c = b+r$

$c = frac{1}{2} - frac{3}{2}$

$c = -1$

Logo:

$abc=2cdot frac{1}{2} cdot (-1)$

$abc=-1$

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