Questão 9

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 2ª fase)

Uma estudante está praticando suas habilidades de geometria. Para isso, lança simultaneamente dois dados, um amarelo e um branco, e desenha a reta r dada por $y= a_{1}x+b_{1}$ , sendo $a_{1}$ o resultado obtido no lançamento do dado amarelo e $b_{1}$ o resultado obtido no lançamento do dado branco.
Ela repete este processo, lançando novamente ambos os dados, e desenha assim uma segunda reta s dada por $y= a_{2}x+b_{2}$ , com $a_{2}$ sendo o resultado obtido no segundo lançamento do dado amarelo e $b_{2}$ o resultado obtido no segundo lançamento do dado branco.

a) Qual a probabilidade de as retas r e s terem apenas um ponto em comum?

b) Numa rodada do jogo, os resultados dos dados foram $a_{1}= 2, b_{1}=3, a_{2}= 5$ e $b_{2}=6$ . Determine o ponto de interseção das retas encontradas.

Gabarito:

Resolução:

a) Como o exercício pede a probabilidade de que as retas tenha um único ponto em comum, o de dever ser determinado a probabilidade das retas serem concorrentes. Para que duas retas sejam correntes elas devem ter coeficiente angular distintos, ou seja, considerando as retas $r$ e $s$ é necessario que $a_1 eq a_2$

Considerando o par ordenado $left (a_1, a_2 ight )$ e que os dados usados pela estudante são dados comuns de 6 faces númeradas de 1 a 6, cada um dos números pode assumir um valor do conjunto $left { 1,2,3,4,5,6 ight }$ , então pelo principio multiplicativo temos que existe 36 pares ordenados de valores que podem corresponder a $left (a_1, a_2 ight )$ .

Como queremos os valores em que $a_1 eq a_2$ , vamos desconsiderar os valores que $a_1=a_2$ . Os pares em que $a_1=a_2$ são $left { left ( 1,1 ight ); left ( 2,2 ight ); left ( 3,3 ight );left ( 4,4 ight ); left ( 5,5 ight ); left ( 6,6 ight ) ight }$ , sendo assim existe 30 pares ordenados que $a_1 eq a_2$ .

Por tanto $P(rXs)=frac{30}{36}=frac{5}{6}$ .

b) Como os resultados dos dados foram $a_{1}= 2, b_{1}=3, a_{2}= 5$ e $b_{2}=6$ , temos que $r:y=2x+3$ e $s:y=5x+6$ . Para encontrar a interseção das duas retas deve ser encontrado o par ordenado que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo, ou seja, é preciso determinar a solução para o sistema: