Questão 2

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 2ª fase)

Considere o sistema

$left{egin{matrix} x &+py &=q \ 2x &-z &=p \ x&+y &+z = 3 end{matrix} ight.$

a) Para $p = q =1$ , resolva o sistema.

b) Determine os valores de p, q para que o sistema tenha infinitas soluções.

Gabarito:

Resolução:

Subsitituindo $p = q =1$ o sistema fica

$left{egin{matrix} x &+ & y & & &= & 1&(I)\ 2x & & & - &z &= & 1&(II)\ x & + &y &+ &z &= &3& (III) end{matrix} ight.$

Substituindo $(I)$ em $(III)$

$x+y+z=3$

$1+z=3$

$z=3-1$

$z=2$

Substituindo $z=2$ em $(II)$

$2x-z=1$

$2x-2=1$

$2x=1+2$

$2x=3$

$x=frac{3}{2}$

substituindo $x=frac{3}{2}$ em $(I)$ :

$x+y=1$

$frac{3}{2}+y=1$

$y=1-frac{3}{2}$

$y=-frac{1}{2}$

Por tanto, para $p = q =1$ a solução do sistema é $left ( frac{3}{2}, -frac{1}{2},2 ight )$

b) Para determinar o valores de $p$ e $q$ que fazerm com que o sistema tenha infinitas soluções pode ser feito o escalonamento da matriz ampliada

A matriz ampliada sistema é:

$egin{bmatrix} 1 & p & 0 & q\ 2 &0 & -1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 3 end{bmatrix}$

Multiplicando a linha 1 por $(-2)$ e somando com a linha 2:

$egin{bmatrix} 1 & p & 0 & q\ 0 &-2p& -1 & p-2q\ 1 & 1 & 1 & 3 end{bmatrix}$

Multiplicando a linha 1 por $(-1)$ e somando com a linha 3:

$egin{bmatrix} 1 & p & 0 & q\ 0 &-2p& -1 & p-2q\ 0 & 1-p & 1 & 3-qend{bmatrix}$

Somando a linha 2 com a linha 3:

$egin{bmatrix} 1 & p & 0 & q\ 0 &-2p& -1 & p-2q\ 0 & 1-3p & 0 & p-3q+3 end{bmatrix}$

Como isso temoso sistema:

$left{egin{matrix} x &+ & py & & &= &q\ & -& 2py& - &z &= & p-2q\ & &(1-3p)y & & &= &p-3q+3 end{matrix} ight.$

Como $x$ e $z$ estão em função de $y$ , se $y$ puder ser qualquer valor real então o sistema será possivel e indeterminado, ou seja, terá infinitas soluções. Se $1-3p=0$ e $p-3q+3=0$ o sistema sera indeterminado:

$1-3p=0$

$-3p=-1$

$p=frac{1}{3}$

Substituindo $p=frac{1}{3}$ em $p-3q+3=0$ :

$p-3q+3=0$

$frac{1}{3}-3q+3=0$

$frac{10}{3}-3q=0$

$-3q=-frac{10}{3}$

$q=frac{10}{9}$

Por tanto, os valores de p e q que fazem o sistema ter infinitas soluções é $p=frac{1}{3}$ e $q=frac{10}{9}$ .

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