Questão 6

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 2ª fase)

Uma pesquisadora está testando o efeito de um medicamento em uma bactéria. Sabe-se que a função que descreve a quantida de de bactérias vivas na amostra em um tempo t, dado em minutos, é $Q(t)= Ccdot 10^{-bt}$ , com b e C dependendo de características da bactéria e do medicamento.

a) Para uma certa amostra com 5 milhões de bactérias, verificou-se que, nos primeiros 10 minutos, 9/10 da quantidade de bactérias na amostra morreram. Qual é a quantidade de bactérias vivas que restaram após 20 minutos?

b) Numa outra amostra, onde foi descoberto experimentalmente que b = 3, quanto tempo levará para que a quantidade de bactérias fique reduzida à metade?

Dados: $log_{10} 2 approx 0,3$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Como a quantidade inicial de bactérias era de 5 milhões, então podemos escrever que $Q(0)=5cdot 10^6$ , como $Q(t)=Ccdot 10^{-bcdot t}$ temos que $Q(0)=Ccdot 10^{-bcdot 0}$ e consequentemente $5cdot 10^6=Ccdot 10^{-bcdot 0}$

$5cdot 10^6=Ccdot 10^{-bcdot 0}$

$5cdot 10^6=Ccdot 10^{ 0}$

$5cdot 10^6=C$

Considerando que após 10 minutos 9/10 das bactérias morram podemos considerar que em t=10 apenas 1/10 da amostra original estava viva, ou seja

$Q(10)=frac{Q(0)}{10}$

$5cdot 10^6cdot 10^{-10b}=frac{5cdot 10^6}{10}$

$10^{-10b}=frac{5cdot 10^6}{5cdot 10^7}$

$10^{-10b}=frac{1}{10}$

$10^{-10b}=10^{-1}$

Como as bases são iguais os expoentes devem ser iguais

$-10b=-1$

$b=frac{1}{10}$

Como isso temos que a função que descreve as caracteristicas dessa amostra é $Q(t)=5cdot 10^6cdot 10^{-frac{1}{10}t}$ ou $Q(t)=5cdot 10^6cdot 10^{-0,1t}$