Questão 56

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 1ª fase)

Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola.

O valor de a + b é

-7,5.

-7.

-6,5.

-6.

Gabarito:

-7.

Resolução:

Para determinar os pontos de intersecção entre duas curvas deve-se determinar os valores que satisfazem as duas equações simultaneamente. Primeiro deve ser determinado a equação de cada um dos entes geométricos.

Para a parábola:

A equação de uma parábola é uma equação do segundo grau, e como toda equação polinomial a equação de grau 2 pode ser escrita na sua forma fatorada utilizando a suas raízes, ou seja, para qualquer polinômio do segundo grau é verdade que

$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Pelo grafico sebe-se que $x_1=-2$ e $x_2=1$ , então

$p(x)=a(x-(-2))(x-1)$

$p(x)=a(x+2)(x-1)$

$p(x)=a(x^2-x+2x-2)$

$p(x)=a(x^2+x-2)$

$p(x)=ax^2+ax-2a$

Como $p(x)$ intesepta o eixo y em $y=2$ então $-2a=2$

$-2a=2$

$a=frac{-2}{2}$

$a=-1$

Logo $p(x)=-x^2-x+2$

Para a resta:

A equação de uma reta pode ser determinada a partir de dois de seus pontos. Do graficos tem-se os pontos $(x_1, y_1) = (-1,0)$ e $(x_2,y_2) = (0,2)$ . Com esses pontos pode ser determinado o coeficiente angular e aplicar na formula $y-y_1=m(x-x_1)$

Determinando o coeficiente angular da reta:

$m = frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}$

$m = frac{2 - 0}{0-(-1)}$

$m = frac{2}{1}$

$m =2$

Aplicando a formula:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-0=2(x-(-1))$

$y=2(x+1)$

$y=2x+2$

Para determinar pontos que pertence as duas curvas basta igualar as suas equações:

$-x^2-x+2=2x+2$

$-x^2-x-2x+2-2=0$

$-x^2-3x=0$

$x(x-3)=0$

$x=0$ ou $x=-3$

Como o ponto de $x=0$ que pertence as duas curvas já conhecido, o ponto procurado deve ser o abscissa $x=-3$ . Substituindo o valor de x na equação da reta tem-se

$y=2x+2$

$y=2(-3)+2$

$y=-6+2$

$y=-4$

Logo, $P(a,b)=P(-3,-4)Rightarrow a+b=-3-4=-7$ . Por tanto, a alternativa correta é a alternativa B

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