Questão 52

UNICAMP 2023

Matemática

(UNICAMP - 2023 - 1ª fase)

Leia o texto a seguir para responder às questões 51 e 52.

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.

Considere a função

$y= f(x)= frac{x+1}{x-1},$

definida para $x epsilon mathbb{R}$ , $x eq 1$ , que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

Considere a sequência $x_{1},x_{2},...,$ definida por $x_{1}=6$ , e para cada $ngeq 1$ , temos $x_{n+1}= f(x_{n})$ , ou seja,

$x_{1}= 6,$
$x_{2}= f(x_{1})= frac{7}{5},$
$x_{3}= f(x_{2}),$

e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale

140.

370.

600.

740.

Gabarito:

370.

Resolução:

$x_3 = frac{frac{7}{5}+1}{frac{7}{5}-1} = frac{frac{7+5}{5}}{frac{7-5}{5}} = frac{12}{2} = 6$

Então sabemos que $f(6) = frac{7}{5}$ e $f( frac{7}{5}) = 6$ logo nossa sequencia é:

$6, frac{7}{5}, 6, frac{7}{5},dots$

Logo:

$S_{100} = 50cdot 6 + 50cdot frac{7}{5}$

$S_{100} =300+70$

$S_{100} =370$

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