Questão 49

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 1ª FASE) Considere a matriz quadrada de ordem 3 A

onde x é um número real. Podemos afirmar que:

A não é invertível para nenhum valor de x.

A é invertível para um único valor de x.

A é invertível para exatamente dois valores de x.

A é invertível para todos os valores de x.

Gabarito: A é invertível para todos os valores de x.

Resolução:

Para eu saber se uma matriz é invertível, preciso ver o determinante, se ela for invertível o determinante será $det A eq 0$ :

$det;A=egin{vmatrix} cos;x &0 &-sen;x &cos;x &0 \ 0& 1 &0 & 0 & 1\ sen;x & 0& cos;x & sen;x &0 end{vmatrix}=(cos;x cdot1 cdot cos;x+0 cdot 0 cdot sen;x+ (-sen;x) cdot 0 cdot 0)-((-sen;x) cdot sen;x cdot 1+cos;x cdot 0 cdot 0+cos;x cdot 0 cdot 0)= cos^{2}x+sen^{2}x$

Portanto,

$det;A=cos^{2}x+sen^{2}x$

Porém sabemos que essa é uma relação trigométrica fundamental que tem valor 1:

$det;A=cos^{2}x+sen^{2}x=1$

Como o determinante é diferente de 0 $det;A eq 0$ a matiz é invertível.
letra d

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