Questão 10

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 2 fase - Questão 10)

A figura abaixo exibe o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 1/𝑥, definida para todo número real 𝑥 > 0. Os pontos 𝑃 e 𝑄 têm abscissas 𝑥 = 1 e 𝑥 = 𝑎, respectivamente, onde 𝑎 é um número real e 𝑎 > 1.

a) Considere o quadrilátero 𝑇 com vértices em (0,0), 𝑃, 𝑄 e (𝑎, 0). Para 𝑎 = 2, verifique que a área de 𝑇 é igual ao quadrado da distância de 𝑃 a 𝑄.

b) Seja 𝑟 a reta que passa pela origem e é ortogonal à reta que passa por 𝑃 e 𝑄. Determine o valor de 𝑎 para o qual o ponto de intersecção da reta 𝑟 com o gráfico da função 𝑓 tem ordenada 𝑦 = 𝑎/2.

Gabarito:

Resolução:

a) É possível separar o quadrilátero formado pelos pontos marcados em um triângulo e um trapézio. Notando que o ponto P é $(1, 1)$ e o ponto Q é $(a, frac{1}{a})$ , o triângulo é formado pelos pontos:

$(0, 0), (1, 0), (1, 1)$

O trapézio é formado pelos pontos

$(1, 0), (1, 1), (a, 0) ,(a, frac{1}{a})$

Assim, ao se analisar o tamanho de suas medidas, a área do triângulo é dada por:

$A_1=frac{1 imes1}{2}=frac{1}{2}$

E a área do trapézio, com a=2:

$A_2=frac{(1+frac{1}{2})(2-1)}{2}$

$A_2=frac{frac{3}{2}}{2}=frac{3}{4}$

Logo, a área do quadrilátero é dada por:

$A_1+A_2=frac{1}{2}+frac{3}{4}=frac{5}{4}$

A distância de P a Q é:

$overline{PQ}=sqrt{(2-1)^2+( frac{1}{2}-1)^2}$

$overline{PQ}=sqrt{1+frac{1}{4}}$

$overline{PQ}=sqrt{frac{5}{4}}$

Logo, a área do quadrilátero é igual ao quadrado da distância PQ.

b) Se a reta r passa pela origem, sabemos que ela é do tipo y = k.x.

Podemos encontrar o coeficiente ângular da reta que passa por P e Q:

$C_{PQ}=frac{frac{1}{a}-1}{a-1}$

$C_{PQ}=frac{frac{1-a}{a}}{a-1}$

$C_{PQ}={frac{1-a}{a(a-1)}}$

$C_{PQ}=frac{-1}{a}$

Como esta reta é ortogonal à reta r, e a reta r é do tipo y = k.x, podemos notar que:

$k=-frac{1}{frac{-1}{a}}=a$

Logo, a equação de r é:

$y=ax$

Se ela deve existir no ponto $y=frac{a}{2}$ , ou seja, no ponto $(frac{2}{a},frac{a}{2})$ .

Como a reta r a intercepta neste ponto, substituindo o ponto na equação da reta:

$frac{a}{2}=acdot frac{2}{a}$

$frac{a}{2}= 2$

$a=4$

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