Questão 8

UNICAMP 2016

Matemática

(UNICAMP - 2016 - 2 fase - Questão 8)

Considere a função 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| + 𝑥 − 5, definida para todo número real 𝑥.

a) Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no plano cartesiano para −4 ≤ 𝑥 ≤ 4.

b) Determine os valores dos números reais 𝑎 e 𝑏 para os quais a equação log_𝑎(𝑥 + 𝑏) = 𝑓(𝑥) admite como soluções 𝑥₁ = −1 e 𝑥₂ = 6.

Gráfico do campo de respostas.

Gabarito:

Resolução:

a) Dado o caráter da função modular, podemos notar que:

$left | 2x-4 ight |= 2x-4 Rightarrow xgeq 2$
$left | 2x-4 ight |= 4-2xRightarrow xleq 2$

Logo, a função será:

$f(x)=2x-4+x-5=3x-9 Rightarrow xgeq 2$
$f(x)=4-2x+x-5=-x-1 Rightarrow xleq 2$

O gráfico em $-4leq xleq 4$ é:

b) Buscamos os valores de a e b tais que:

$log_a(x+b)=left | 2x-4 ight |+x-5$

Em que x=-1 e x=6 são soluções, logo:

$log_a(-1+b)=left | 2(-1)-4 ight |+x-5$
$log_a(-1+b)=left | 2(-1)-4 ight |+(-1)-5$
$log_a(-1+b)=0$
$-1+b=1Rightarrow b=2$

Da solução x=6 temos:

$log_a(6+b)=left | 2cdot (6)-4 ight |+6-5$
$log_a(6+b)=9$
$log_a(6+2)=9$
$a^9=8$
$a=8^{1/9}$
$a=(2^3)^{1/9}$
$a=2^{1/3}Rightarrow a=sqrt[3]{2}$

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