Questão 24

UNICAMP 2014

Matemática

Considere no plano cartesiano os pontos A = (-1, 1) e B = (2,2).

a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam pelos pontos A e B.

b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o triângulo ABC tenha área igual a 8.

Gabarito:

Resolução:

A) Seja $(x- x_0)^2 + (y-y_0)^2 =R^2$ a equação da circunferencia e $A$ e $B$ pertencentes a circunferencia, temos:

$left{egin{matrix} (-1- x_0)^2 + (1-y_0)^2 =R^2 \ (2- x_0)^2 + (2-y_0)^2 =R^2 end{matrix} ight.$

Subtraindo as duas equações,

$6x_0+2y_0-6=0$

E essa é a equação da reta a que pertence os centros da circunferencia.

B) $A_{ABC} = frac{left | egin{bmatrix} -1 & 1 & 1\ 2 & 2 & 1\ x_c & y_c & 1 end{bmatrix} ight |}{2}$

$A_{ABC} = frac{left | -4+3y_c-x_c ight |}{2}$ , como a questão nos diz que $C = (0,y)$ , onde $y<0$

$A_{ABC} = frac{+4-3y_c}{2} = 8$

$+4-3y_c = 16 ightarrow y=-4$

Portanto, $C = (0,-4)$

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