Questão 23

UNICAMP 2014

Matemática

O polinômio p(x) = x³ - 2x² - 9x + 18 tem raízes: r, -r e s.

a) Determine os valores de r e s.

b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária.

Gabarito:

Resolução:

A) Usando o fato de que $r$ e $-r$ são raizes, calculemos $p(-x)$ ,

$p(-x) = -x^3 -2x^2 +9x +18$

Somando , $p(r) + p(-r) = -4r^2 +36 = 0$

$r^2 = 9 ightarrow r = 3$

Por Girard, sabemos que : $r + s -r = 2 ightarrow s = 2$

B) Fatorando $p(x)$ , temos que :

$p(x)= (x-3)(x+3)(x-2)$

Substituindo $x = 1+i$

$p(x)= (i-2)(i+4)(i-1) = (i^2 +2i -8)(i-1)$

$p(x)= (2i -9)(i-1) = 2i^2 -11i + 9$

$p(x)= 7 -11i$

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