Questão 22

UNICAMP 2014

Matemática

Considere a matriz $A = egin{pmatrix} a&1 &1 \ -1&0 &b \ c&-2 &0 end{pmatrix}$ , onde a e b são números reais.

a) Encontre os valores de a e b de modo que A^T = -A.

b) Dados a = 1 e b = -1, para que valores de c e d o sistema linear $Aegin{pmatrix} x\y \z end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1\1 \d end{pmatrix}$ tem infinitas soluções?

Gabarito:

Resolução:

A) $A = egin{pmatrix} a&1 &1 \ -1&0 &b \ c&-2 &0 end{pmatrix}$ e $A = egin{pmatrix} a&-1 &c \ 1&0 &-2 \ 1&b &0 end{pmatrix}$ , $A^t = -A ightarrow left{egin{matrix}a = -a ightarrow a = 0 \b = 2\ c = -1 end{matrix} ight.$

B) $Aegin{pmatrix} x\y \z end{pmatrix}=egin{pmatrix} a&1 &1 \ -1&0 &b \ c&-2 &0 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1\1 \d end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} a&1 &1 \ -1&0 &b \ c&-2 &0 end{pmatrix}cdot egin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix}=egin{pmatrix} a+y+z\ -x+bz\ cx-2z end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 1+y+z\ -x-z\ cx-2z end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1\1 \d end{pmatrix}$

Com isso, temos que :

$left{egin{matrix} 0x+y+z = 0\ x+0y+z = -1\ cx+0y-2z = d end{matrix} ight.$

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante de $egin{pmatrix} 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 1\ c & 0 & -2 end{pmatrix}$ é nulo, logo:

$c +2 = 0 ightarrow c = -2$

E o sistema deve ser possivel, substituindo $c$ , notamos que a terceira equação é igual a segunda multiplicada por $-2$ , logo :

$d = 2$

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