Questão 18

UNICAMP 2014

Matemática

Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x² + ax + b , definidas para todo x real.

a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b.

b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.

Gabarito:

Resolução:

A) Fazendo $x= 0$ , pelo enunciado temos que :

$f(0) = b = 1$

Como $f(x)$ é tangente ao eixo $x$ a função tem apenas uma raiz, logo :

$a = 2sqrt b = 2$

B) Montando o sistema das duas funções, temos:

$left{egin{matrix} y = x^2 + a_1x+ b_1\ y = x^2 + a_2x + b_2 end{matrix} ight.$

Ao realizar a substração das duas equações para $(x,y)$ do ponto em comum, obtemos:

$(a_2-a_1)x + (b_2-b_1) = 0$ , usando que $a+b = 1$ , ficamos com:

$(a_2-a_1)x + (a_1-a_2) = 0$

$x = 1$

Substiuindo em uma das equações,

$f(1) = 1^2+a+b = 2$

Portanto o ponto em comum é o $left ( 1,2 ight )$

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