Questão 17

UNICAMP 2014

Matemática

Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1 cm e um lado com comprimento de x cm.

a) Encontre o valor de x

b) Mostre que a medida do ângulo $alpha$ é inferior a 150º.

Gabarito:

Resolução:

A) Aplicando pitagoras sucessivas vezes, temos que:

$x = sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2+1^2} = sqrt5$

B) Analisando cada um dos angulos, temos que :

$left{egin{matrix} tgalpha_1 = 1 ightarrow alpha-1 = 45^{circ}\ tgalpha_2 = frac{sqrt2}{2} ightarrow 30^{circ}<alpha_2<45^{circ}\ tgalpha_3 = frac{sqrt3}{3} ightarrow alpha_3 = 30^{circ}\ tgalpha_4 = frac{sqrt5}{5} ightarrow alpha_4< 30^{circ} end{matrix} ight.$

Realizando a soma dos valores limites superior de cada angulo, temos que :

$alpha_1 +alpha_2+alpha_3+alpha_4 < 150^{circ}$

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