Questão 39

UNICAMP 2014

Matemática

(UNICAMP - 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a

3,0 m²

2,0 m²

1,5 m²

3,5 m²

Gabarito:

1,5 m²

Resolução:

O maior lado de um triângulo retângulo é a hipotenusa, como os lados estão em PA, temos que:

$\ extrm{hipotenusa;=;a;+;r}\\ extrm{os;demais;catetos;possuem,;portanto;medida;} extbf{a}; extrm{e}; extbf{a-r}$

O perímetro é igual à 6, então:

$\ extrm{(a;-;r);+;a;+;(a;+;r)}=6\\ herefore extbf{a;=;2}$

Agora, utilizaremos Pitágoras:

$\(a+r)^2=a^2+(a-r)^2\\a^2+2ar+r^2=a^2+a^2-2ar+r^2\\a^2-4ar=0;;;;Rightarrow a(a-4r)=0;;;;;;Rightarrow r=frac{a}{4}=frac{1}{2}$

A área é dada pelo produto entre os catetos dividido por 2:

$A=frac{1}{2}cdot (2-frac{1}{2})cdot 2=1,5;cm^2$

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