Questão 9

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 9)

Considere a matriz $A = egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{bmatrix}$ , cujos coeficientes são números reais.

a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.

b) Suponha, agora, que $a_{ij} = 0$ para todo elemento em que j > i, e que $a_{ij} = i - j + 1$ para os elementos em que $j leq i$ . Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, $A^{-1}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) I) O número de matrizes do tipo A com exatamente 6 elementos iguais a zero e sem permutar os 3 elementos diferentes de zero é $C_{9,3} = 84$

II) Das 84 matrizes obtidas, as que têm um determinante diferente de zero também sem permutar os elementos não nulos são apresentadas abaixo:

$egin{pmatrix} a_{1,1} &0 &0 \ 0 & a_{2,2}& 0 \ 0 & 0 & a_{3,3} end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 0 &a_{1,2} &0 \ 0 & 0& a_{2,3} \ a_{3,1} & 0 & 0 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 0 &0 &a_{1,3} \ a_{2,1} & 0& 0\ 0 & a_{3,2} & 0 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 0 &0 &a_{1,3} \ 0 & a_{2,2} & 0\ a_{3,1} & 0 & 0 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} a_{1,1} &0 &0 \ 0 & 0 & a_{2,3}\ 0 & a_{3,2} & 0 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 0 &a_{1,2} &0 \ a_{2,1} & 0 & 0\ 0 & 0 & a_{3,3} end{pmatrix}$

III) A probabilidade pedida é:

$frac{6}{84} = frac{1}{14}$

b) I) Se a_i,j= 0 para todo elemento em que j > i e $a_{ij} = i-j+1$ para os elementos que $j leq 1$ , então:

$A = igl(egin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\ 2 & 1 & 0\ 3& 2 & 1 end{smallmatrix}igr)$

II) A matriz dos cofatores de A é:

$egin{pmatrix} 1 & -2&1 \ 0& 1& -2\ 0&0 & 1 end{pmatrix}$

III) A transposta da matriz dos cofatores é:

$egin{pmatrix} 1 & 0& 0\ -2& 1& 0\ 1 &-2 &1 end{pmatrix}$

IV) $det A = 1 cdot 1 cdot 1 = 1$

V) A matriz inversa de A é a matriz do item III, pois det A = 1.

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