Questão 7

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 7)

Sejam dadas as funções $f(x) = 8/4^{2x}$ e $g(x) = 4^x$ .

a) Represente a curva y = f(x) no gráfico abaixo, em que o eixo vertical fornece $log_2(y)$ .

b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações

$log_2(yleft{egin{matrix} f(z) =g(y)\f(y) / g(z) = 1 end{matrix} ight.$

Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.

Gabarito:

Resolução:

a) $y = frac{8}{4^{2x}}$

$log_{2}y = log_{2}(frac{8}{4^{2x}})$

$log_{2}y = log_{2}8 - log_{2}(4^{2x})$

$log_{2}y = 3 - 2x cdot log_{2}4$

$log_{2}y = 3 - 4x$

O gráfico dessa função é dado por:

Porém, o gráfico dado é dado por log₂y no eixo y, logo linearizamos a função:

b) $f(z) = g(y) Rightarrow frac{8}{4^{2z}} = 4^{y} (I)$

$8 = 4^{2z} cdot 4^{y}$

$2^{3} = 2^{4z+2y}$

$2y +4z = 3$

(II) $frac{f(y)}{g(z)} = 1$

$f(y) = g(z)$

$frac{8}{4^{2y}} = 4^{z}$

$2^{3} = 2^{4y + 2z}$

$4y + 2z = 3$

(III) $left{egin{matrix} 2y + 4z &= 3 \ 4y + 2z & = 3 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 4y + 8z &= 6 \ -4y - 2z & = -3 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} 2y + 4z & =3\ 6z& = 3 end{matrix} ight.$

Logo:

$y = frac{1}{2} ; z = frac{1}{2}$

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