Questão 5

UNICAMP 2010

Matemática

(UNICAMP - 2010 - 2 fase - Questão 5)

O valor presente, $V_p$ , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.

a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, $V_p$ , supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.

b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, $V_p$ , e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.

Gabarito:

Resolução:

a) Admitindo que o valor presente dessa mercadora seja a soma dos valores presentes de cada parcela podemos resolver o exercício.

O valor da primeira parcela é dada por:

$P_{1} = frac{200}{(1+0,01)^{0}} = 200$

e foi paga na hora da compra.

O valor da segunda parcela é dado por:

$P_{2} = frac{200}{(1+0,01)^{1}} = frac{200}{1,01} = 198,02$

e foi paga após o primeiro mês.

Assim:

$P_{1} + P_{2} = 200 + 198,02 = 398,02 reais$

b) Seguindo a mesma lógica da letra a, valor presente da primeira parcela é:

$P_{1} = frac{p}{1,01}$

E da segunda é dada por:

$P_{2} = frac{p}{(1,01)^{2}}$

Desse modo, o valor presente da mercadoria é dado pela soma dos valores presentes das parcelas:

$P_{1} + P_{2} = frac{p}{1,01}+frac{p}{1,01^{2}} = frac{2,01p}{1,01^{2}} = 1,97 p$

Portanto, o percentual mínimo para que seja vantajoso ao cliente a compra a vista é obtido por:

$frac{2p-1,97p}{2p} = 0,015 = 1,5\%$

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