Questão 11

UNICAMP 2007

Matemática

(UNICAMP - 2007) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy.

a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a)

Gabarito:

Resolução:

a) Se P é um ponto qualquer do plano, existem duas retas que passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada.

Se P (2,5), então as retas que passam pelo ponto P têm equação:

$y - 5 = m cdot (x-2)$ ou x = 2..

A reta $x - 3y + 6 = 0$ tem coeficiente angular igual a $m_{r} = frac{1}{3}$

Se $heta$ for o ângulo formado por duas retas r e s, então a tangente de $heta$ é dada por:

$tg heta = pm frac{m_{r}-m_{s}}{1 + m_{r} cdot m_{s}}$

Para um ângulo igual a 45º e um coeficiente angular igual a 1/3:

$tg 45^{circ} = pm frac{frac{1}{3}-m_{s}}{1+frac{1}{3} cdot m_{s}}$

$1 = pm frac{frac{1}{3}-m_{s}}{1+frac{1}{3} cdot m_{s}}$

$m_{s} = 2 ou m_{s} = - frac{1}{2}$

Dessa maneira, as retas procuradas têm equação:

$s_{1} : y - 5 = 2 cdot (x-2) Rightarrow 2x - y + 1 = 0$

$s_{2} : y - 5 = -frac{1}{2} (x-2) Rightarrow x + 2y -12 = 0$

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