Questão 9

UNICAMP 2007

Matemática

(UNICAMP - 2007) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo Â tem 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC.
c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo

Gabarito:

Resolução:

$S_{ABC} = frac{(r+3)(r+10)}{2} = pr = (13+r) cdot r$

Onde:

$p = frac{13+(10+r) + (3+r)}{2}$

Logo:

$frac{r^{2}+13r+30}{2} = r^{2} + 13 r$

$r^{2} + 13 r - 30 = 0$

Resolvendo por Bháskara, obtemos r = 2 como única raiz positiva.

b) $overline{AB} = r + 10 = 12$

$overline{AC} = r+3 = 5$

c) A área da região é interna ao triângulo ABC e externa ao círculo de raio r:

$A = frac{5 cdot 12}{2} - pi cdot 2^{2} = 30 - 4pi$

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