Questão 5
UNICAMP 2007
(UNICAMP - 2007) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.
a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg?
b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.
c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?
Gabarito:
Resolução:
É razoável supor que os 5 kg de comida que o restaurante deixa de vender sejam por dia.
Assim, temos:
a) Se o preço subir para 18 reais (15+3), então o restaurante venderá (100 - 3 x 5) kg de comida, isto é, 85 kg.
Neste caso, a receita será de 85 x 18 = 1530 reais.
Se o preço por quilo subir para 20 reais (15+5), então o restaurante venderá (100 - 5x5) kg de comida, isto é, 75 kg.
Nesse caso a receita será de 75 x 20 = 1500 reais.
Assim, a receita será maior quando o preço subir para 18 reais por kg.
b) Se x for o número de reais a ser acrescentado ao preço, percebemos que existe uma relação entre o número do aumento do preço e a quantidade vendida.
A relação é:
para o preço;
para os kg de comida vendida;
Como a receita é obtida pelo produto entre o preço da comida por kg e a quantidade (em kg) de comida vendida, é possível montar uma função:
c) Para calcular o x do vértice, isto é, o preço máximo para a receita máxima, utilizamos a fórmula:
Assim, o aumento deve ser de 2,5 reais, de modo tal que a comida passe a custar 15 + 2,5 = R$ 17,50.