Questão 7

UNICAMP 2001

Física

(UNICAMP - 2001 - 2 FASE)

Além de suas contribuições fundamentais à Física, Galileu é considerado também o pai da Resistência dos Materiais, ciência muito usada em engenharia, que estuda o comportamento de materiais sob esforço. Galileu propôs empiricamente que uma viga cilíndrica de diâmetro d e comprimento (vão livre) L, apoiada nas extremidades, como na figura abaixo, rompe-se ao ser submetida a uma força vertical F, aplicada em seu centro, dada por $F=sigma frac{d^{3}}{L}$ onde $sigma$ é a tensão de ruptura característica do material do qual a viga é feita. Seja $gamma$ o peso específico (peso por unidade de volume) do material da viga.

a) Quais são as unidades de no Sistema Internacional de Unidades?

b) Encontre a expressão para o peso total da viga em termos de $gamma$ , d e L.

c) Suponha que uma viga de diâmetro d₁ se rompa sob a ação do próprio peso para um comprimento maior que L₁. Qual deve ser o diâmetro mínimo de uma viga feita do mesmo material com comprimento 2L₁ para que ela não se rompa pela ação de seu próprio peso?

Gabarito:

Resolução:

a) Pela relação apresentada:

$F=sigma frac{d^3}{L}Rightarrow sigma = frac{FL}{d^3}\ sigma = frac{Nm}{m^3}=frac{N}{m^2}=frac{frac{kgcdot m}{s^2}}{m^2}=frac{kg}{mcdot s^2}$

b) Segundo o enunciado:

$gamma = frac{P}{V} Rightarrow P=gamma V\V=frac{pi d^2L}{4}\ herefore P=frac{gamma pi d^2 L}{4}$

c) A força vertical será o peso aplicado no centro da viga responsável pela flexão e ruptura:

$F=P Rightarrow frac{sigma d^3}{L}=frac{gamma pi d^2 L}{4}\ frac{4sigma}{gamma pi}=frac{L^2}{d}\I) frac{4sigma}{gamma pi}=frac{L_1^2}{d_1}\\II) frac{4sigma}{gamma pi}=frac{(2L_2)^2}{d_2}\\ herefore d_2 = 4d_1$

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