Questão 89

UNESP 2022

Matemática

(UNESP - 2022 - 1ª fase - DIA 1)

Um vídeo postado na internet no 1o dia do ano obteve, nesse dia (t=1), 800 likes e 100 dislikes.

Estima-se que nos próximos dias (t = 2, 3, 4, ...) haverá um aumento diário de 10% nos likes acumulados e um aumento diário de 4,5% nos dislikes acumulados. Tais estimativas são válidas até o momento em que a razão entre dislikes e likes seja aproximadamente $frac{1}{40}$ , o que ocorrerá no valor inteiro de t mais próximo de

$log_{0,95}{0,12.}$ $log_{0,95}{0,12.}$

$log_{0,95}{0,19}.$

$log_{0,05}{0,19}.$

$log_{1,05}{1,9}.$

$log_{0,05}{0,12}.$

Gabarito:

$log_{0,95}{0,19}.$

Resolução:

Temos que o número de likes no vídeo em cada dia é dado por:

$800 imes1,1^{t-1}$

E o número de dislikes em cada dia é dado por:

$100 imes1,045^{t-1}$

Note que o corréto é usar t-1 e não t na potência, pois assim o primeiro dia será o que teve 800 likes e 100 dislikes.

Assim, a razão que procuramos é:

$frac{100 imes1,045^{t-1}}{800 imes1,1^{t-1}}=frac{1}{40}$

Simplificando:

$frac{1,045^{t-1}}{1,1^{t-1}}=frac{1}{5}$

$(frac{1,045}{1,1})^{t-1}=frac{1}{5}$

$(0,95)^{t-1}=0,2$

Podemos utilizar o logaritmo de base 0,95, com o objetivo de tirar o (t-1) do expoente.

O número 1 é a mesma coisa que qualquer logaritmo com a propria base, como por exemplo $log_aa=1$ , utilizando estas propriedades:

$log_{0,95}0,95^{({t-1})}=log_{0,95}0,2$

$(t-1)log_{0,95}0,95=log_{0,95}0,2$

${({t-1})}=log_{0,95}0,2$

$t=log_{0,95}0,2+1$

$t=log_{0,95}0,2+log_{0,95}0,95$

$t=log_{0,95}(0,2 imes0,95)$

$t=log_{0,95}(0,19)$

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