Questão 87
UNESP 2022
(UNESP - 2022 - 1ª fase - DIA 1) O quadrado PADU tem lado de medida 2 cm. A partir de M, que é ponto médio de , forma-se um novo quadrado, MENU, como mostra a figura.
Nessa figura, a área do pentágono não convexo UNESP é igual a
2,50 cm².
3,00 cm².
2,75 cm².
3,25 cm².
2,25 cm².
Gabarito:
2,25 cm².
Resolução:
Nesta figura, o ângulo °, logo, o ângulo
e
são iguais, sendo que
devido ao triângulo UDM, e
devido à propriedade do ângulo. Assim sendo, UDM e SMA são triângulos semelhantes.
A área colorida a ser encontrada é a área de um quadrado UNEM de lado desconhecido, subtraido do quadrilátero UMSP. A área do quadrilátero UMSP é a área de um quadrado de lado 2 cm subtraido da área dos triângulos UDM e SMA. Assim, precisamos encontrar as áreas dos triângulos.
Como M é ponto médio de DA, sabemos que DM = 1 cm e MA = 1 cm.
O enunciado também diz que UD = 2 cm.
Assim sendo, a área de UDM é:
Analisando a semelhança de triângulos entre UDM e SMA, é possível ver que SA=0,5 cm. Assim sendo, a área de SMA é:
A área de UMSP então é:
Resta encontrar a área do quadrilátero UNEM. Ao traçar uma reta PN, é possível encontrar o triângulo retângulo UPN. Podemos notar que o triângulo retângulo UPN é congruênte ao triângulo UDM, pois dois de seus ângulos são iguais (o ângulo reto e o ângulo , devido à inclinação do quadrado) e UD=UP= 1 cm. Assim podemos encontrar as medidas do triângulo UPN, que são iguais às medidas do triângulo UDM, e ver que o lado do quadrado UNEM mede
cm.
Logo, a área do pentagono, a ser encontrada pela subtração da área do quadrado UNEM pelo quadrilátero UMSP é: