Questão 24

UNESP 2018

Matemática

(UNESP - 2018 - 2ª FASE)

O gráfico representa uma hipérbole, dada pela função real $mathrm{f(x) = x + frac{3}{2 - x}}$ . Sabe-se que ABCD é um retângulo, que $mathrm{overline{EC}}$ é diagonal do retângulo EBCF e que a área da região indicada em rosa é igual a 4,7 cm².

a) Determine as coordenadas (x, y) do ponto A

b) Calcule a área da região indicada em amarelo no gráfico.

Gabarito:

Resolução:

Como o ponto A pertence a hipérbole e cruza o eixo x, ou seja, tem y=0, podemos achar o valor que A cruza o eixo x fazendo:

$0=x+frac{3}{2-x}$

rearranjando teremos uma eq. 2 grau:

$x^{2}+2x-3=0$

com as raízes:

$x_{1}=-1$

$x_{2}=3$

Desta forma, o ponto A é A(-1,0) e o ponto H é H(3,0)

Agora vamos calcular o valor dos pontos G e B, fazendo y=4:

$f(x)=4=x+frac{3}{2-x}$

$x^{2}-6x+5=0$

$x_{1}=1$

$x_{2}=5$

Assim, G(1,0) e B(5,0)

Observando o desenho é possível observar que a simetria nos permite afimrar que

$ADcong BC$

$DIcong BH$

Dessa forma, a aŕea em rosa e a área que compreende o setor HBC sao iguais. Assim concluimos que a aŕea A procurada pode ser descrita como:

$Area_{A}=Area_{EBC}-Area_{HBC}=Area_{EBC}-Area_{rosa}$

$Area_{A}=frac{EBcdot BC}{2}-4,7=1,3cm^{2}$

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