Questão 24

UNESP 2018

Matemática

(UNESP - 2018/2 - 2ª FASE)

Uma expedição arqueológica encontrou um pedaço de um prato de cerâmica antigo, supostamente circular. Para estimar o tamanho do prato, os arqueólogos desenharam o pedaço de cerâmica encontrado, em tamanho real, em um plano cartesiano de origem O(0, 0). A circunferência do prato passa pela origem do plano cartesiano e pelos pontos A(–4, 2) e B(6, 4) como mostra a figura.

a) A área do pedaço de cerâmica é aproximadamente igual à área do triângulo ABO. Calcule a área desse triângulo, em cm².

b) Calcule as coordenadas do ponto em que estaria localizado o centro do prato cerâmico circular nesse sistema de eixos cartesianos ortogonais.

Gabarito:

Resolução:

a) $Area_{triangulo}=frac{1}{2}cdot left |detegin{vmatrix} 0 &0 &1 \ -4&2 & 1\ 6& 4& 1 end{vmatrix} ight |=frac{1}{2}cdotleft |(-16-12) ight |=14$

b) O centro C=(x,y) tem a mesma distância de todos os pontos que estão sob o raio da circunferência, logo:

$CA=CO$

$sqrt{(x-(-4))^{2}+(y-2)^{2}}=sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}$

$x^{2}+8x+16+y^{2}-4y+4=x^{2}+y^{2}$

rearranjando:

$2x-y=-5$

com a mesma justificativa podemos também afirmar que:

$CB=CO$

$sqrt{(x-6)^{2}+(y-4)^{2}}=sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}$

$x^{2}-12x+36+y^{2}-8y+16=x^{2}+y^{2}$

rearranjando:

$3x+2y=13$

agora temos o seguinte sistema de equações:

$egin{cases} 2x-y=-5 & \ 3x+2y=13 & end{cases}$

resolvendo o sistema obtemos:

$x=frac{3}{7}$

$y=frac{41}{7}$

Questões relacionadas

Questão 88

(UNESP - 2018 - 1ª FASE) Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de intersecç&atild...

Ver questão

Questão 83

(UNESP - 2018 - 1ª FASE) O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2...

Ver questão

Questão 84

(UNESP - 2018 - 1ª FASE) A figura indica um trapézio ABCD no plano cartesiano. A área desse trapézio, na unidade quadrada definida pelos eixos coordenados, é igual...

Ver questão

Questão 85

(UNESP - 2018 - 1ª FASE) Os estudantes 1, 2 e 3 concorreram a um mesmo cargo da diretoria do grêmio de uma faculdade da UNESP, sendo que 1 obteve 6,25% do total de votos que os três r...

Ver questão