Questão 23

UNESP 2016

Matemática

(UNESP - 2016 - 2 fase)

O gráfico da parábola dada pela função $f(x)=-frac{3}{40}(x^{2}-16x-24)$ indica, para uma determinada população de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a população total no ano seguinte, que seria f(x). Por exemplo, se a população atual de insetos é de 1 milhão (x=1), no ano seguinte será de 2,925 milhões, já que f(1) = 2,925.

Dizemos que uma população de insetos está em tamanho sustentável quando a população total do ano seguinte é maior ou igual a população total atual, o que pode ser identificado graficamente com o auxílio da reta em azul (y=x).

Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero (adote $sqrt{22}=4,7$ ) e determine a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou seja, o valor de x, para o qual a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível.

Gabarito:

Resolução:

Encontrando a populçã para a qual no ano seguinte será 0:

$f(x) = 0$

$-frac{3}{40}(x^{2}-16x-24) = 0$

$x^{2}-16x-24 = 0$

$x = frac{16pm sqrt{352}}{2}$

$x = frac{16pm 4sqrt{22}}{2}$

$x = 8pm2cdot 4,7$

Para obtermos um resultado positivo:

$x = 8+2cdot 4,7 = 17,4$

Portanto a população total para que no ano seguinte será igual a zero será: 17.400.000 insetos.

Para encontrar a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual temos, chamando a sustetabilidade de $S(x)$ :

$S(x)=f(x) - x$

$S(x)=-frac{3}{40}x^2 + frac{x}{5} + frac{9}{5}$

Encontrando o $x$ do vértice:

$x_v = -frac{b}{2a}$

$x_v = -frac{-1/5}{2cdot (-3/40)}$

$x_v = frac{4}{3}$

Então, a população para que a sustentabilidade da população de insetos é de 1.333.333 insetos.

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