Questão 87

UNESP 2011

Matemática

(UNESP - 2011 - 1ª FASE) Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a ser causado à população de certa espécie de pássaros pela construção de um grande conjunto de edifícios residenciais próximo ao sopé da Serra do Japi, em Jundiaí, SP, concluíram que a quantidade de tais pássaros, naquela região, em função do tempo, pode ser expressa, aproximadamente, pela função

$P(t)=frac{P_{0}}{4-3cdot (2^{-t})},$

onde t representa o tempo, em anos, e P0 a população de pássaros na data de início da construção do conjunto. Baseado nessas informações, pode-se afirmar que:

após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 30% de P₀.

após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 30% de P₀.

após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 40% de P₀.

após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 40% de P₀.

P(t) não será inferior a 25% de P₀.

Gabarito:

P(t) não será inferior a 25% de P₀.

Resolução:

Para t = 1

$\ P(1) = frac{P_{0}}{4-3.2^{-1}} \ \ P(1) = frac{P_{0}}{4-3.frac{1}{2}} \ \ P(1) = frac{2.P_{0}}{5} = 0,4. P_{0}$

Para t = 2, temos:

$\ P(2) = frac{P_{0}}{4-3.2^{-2}} \ \ P(1) = frac{P_{0}}{4-3.frac{1}{4}} \ \ P(1) = frac{2.P_{0}}{13} = 0,307. P_{0}$

Portanto, após um ano a população será reduzida a 40% de P0, e após 2 anos a população será reduzida para 30,7% de P0. Veja que a população nunca será menor que 25%, veja:

$\ 4-3.(-2^{-t}) > 0 \ \ 4 > 3. (-2^{-t}) \ \ frac{4}{3} > frac{1}{2^{t}} \ \ frac{1}{2^{t}} < 1,33$

$Se frac{1}{2^{t}} < 1,33$ , portanto, temos:

$\ P(t) = frac{P_{0}}{4-3.1} = frac{P_{0}}{4} \ \ P(t) < 0,25. P_{0}$

Gabarito: E

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