Questão 24
UNESP 2011
(UNESP - 2011/2 - 2ª FASE) Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes.
Observe o processo para as duas primeiras divisões:
Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente?
Gabarito:
Resolução:
Cada vez que o processo é realizado, cada quadrado existente é dividido em nove partes, das quais uma é retirada, restando oito novos quadrados. Dessa forma, a partir de cada quadrado original, surgem oito menores. O número de quadrados restantes após a primeira, segunda, e assim por diante até a n-ésima aplicação do processo, segue uma sequência geométrica (8, 64, 512, ..., 8n, ...), onde o n-ésimo termo é dado por an = 8n. As áreas dos quadrados removidos a cada aplicação do processo também seguem uma sequência geométrica.
de razão:
Então a soma das área dos infinitos quadrados retirados é:
Portanto, Restarão 8n quadrados e soma das áreas dos infinitos quadrados retirados é 1.