Questão 6611

UNESP 1990

Matemática

(UNESP - 1990) Pode-se afirmar que existem valores de x ∈ IR para os quais cos⁴x - sen⁴x é DIFERENTE de:

1 - 2 sen²x

cos²x - sen²x

(1/2) + (1/2) cos²2x

2 cos²x - 1

cos 2 x

Gabarito:

(1/2) + (1/2) cos²2x

Resolução:

Trabalhando com a expressão dada e lembrando da relação fundamental:

$cos^4 x-sin^4 x=left(cos^2 x+sin^2 x ight )cdotleft(cos^2 x-sin^2 x ight )=cos^2 x-sin^2 x$

com isso podemos eliminar a alternativa B. Mas pelas fórmulas de arco duplo também sabemos que

$cos 2x=cos^2 x-sin^2 x$

eliminando portanto a alternativa E. Usando as fórmulas alternativas à relação fundamental:

$egin{cases} sin^2 x=1-cos^2 x\ cos^2 x=1-sin^2 x end{cases}$

chegamos a

$egin{cases} cos^2 x-sin^2 x=2cos^2 x-1\ cos^2 x-sin^2 x=1-2sin^2 x end{cases}$

eliminando as alternativas D e A respectivamente. Analisando a alterntiva C:

$frac{1}{2}+frac{1}{2}cos^2 2x=cos^2x-sin^4x\\Rightarrow 1+cos^2 2x=2cos 2x\\Rightarrow cos^22x-2cos 2x+1=0\\Rightarrow left(cos 2x-1 ight )^2=0\\Rightarrow cos 2x=1$

que não é válido para todo x, portanto não é uma identidade trigonométrica.

Questão 6611

UNESP 1990

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