Questão 6230

UFV 2004

Matemática

(UFV - 2004) Simplificando a expressão , x ≠ 3, obtém-se , onde o numerador w é:

A

3 - x

B

3 + x

C

D

3x

E

Gabarito:

3x

Resolução:

Resolução 1:

1) Como as expressões são iguais, temos que:

$frac{3 sqrt{x}-x sqrt{3}}{3-x} = frac {w}{xsqrt{3}+3sqrt{x}}$

2) $mathrm{Utilizar:multiplicação:cruzada:de:frações:}$ :

$left(3sqrt{x}-xsqrt{3} ight)left(xsqrt{3}+3sqrt{x} ight)=left(3-x ight)w$

3) $mathrm{Aplicar:a:regra:da:diferença:de:quadrados::}left(a-b ight)left(a+b ight)=a^2-b^2$

$9x-3x^2=left(3-x ight)w$

4) Isolando o w:

$w=frac{9x-3x^2}{3-x}$

5) Simplificando:

$w=frac{(3-x) cdot 3x}{3-x}=3x$

Resolução 2:

1) Inicialmente temos:

2) Para poder conseguir chegar ao objetivo pelo método feito nessa resolução deve ficar claro que:

2.1)

$3sqrt{x} = 3x cdot frac{1}{sqrt{x}}$

2.2)

$xsqrt{3} = 3x cdot frac{1}{sqrt{3}}$

2.3)

$3 = (sqrt{3})^2$

2.4)

$x = (sqrt{x})^2$

3) Reorganizando os termos usando o que foi dito no passo 2:

$large frac{(3x cdot frac{1}{sqrt{x}}) - (3x cdot frac{1}{sqrt{3}})}{(sqrt{3})^2-(sqrt{x})^2}$

4) Será utilizado essa regra do produtos notáveis:

$a^2-b^2 = (a-b) cdot (a+b)$

5) Será também utilizado a noção de evidência:

$ab + ac = a(b+c)$

6) Utilizando os produtos notáveis e as evidências:

$large frac {3x(frac{1}{sqrt{x}}-frac{1}{sqrt{3}})} {(sqrt{3}-sqrt{x})(sqrt{3}+sqrt{x})}$

7) Reorganizando as frações do numerador:

$large frac {3x(frac{sqrt{3}}{sqrt{3}sqrt{x}}-frac{sqrt{x}}{sqrt{3}sqrt{x}})} {(sqrt{3}-sqrt{x})(sqrt{3}+sqrt{x})}$

8) Sabe-se que $sqrt{a} cdot sqrt{b} = sqrt{ab}$ , logo

$large frac {3x(frac{sqrt{3}}{sqrt{3x}}-frac{sqrt{x}}{sqrt{3x}})} {(sqrt{3}-sqrt{x})(sqrt{3}+sqrt{x})}$

9) Como os denominadores são os mesmos:

$large frac {3x(frac{sqrt{3}-sqrt{x}}{sqrt{3x}})} {(sqrt{3}-sqrt{x})(sqrt{3}+sqrt{x})}$

10) Organizando a fração:

$large frac {3x(sqrt{3}-sqrt{x})} {sqrt{3x}(sqrt{3}-sqrt{x})(sqrt{3}+sqrt{x})}$

11) Simplificando:

$large frac {3x} {sqrt{3x}(sqrt{3}+sqrt{x})}$

12) Reorganizando:

$large frac {3x} {3sqrt{x}+xsqrt{3}}$

13) Logo, w = 3x.

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