(UFV - 2004) Os números inteiros estão distribuídos em 4 conjuntos A0, A1, A2 e A3, de acordo com o seguinte critério: "O número inteiro x está no conjunto Aj se o resto da divisão de x por 4 é j". Por exemplo, 7 está no conjunto A3, pois o resto da divisão de 7 por 4 é 3.
Considere as seguintes afirmativas:
I. Se x ∈ A1 e y ∈ A3, então x + y ∈ A0.
II. Se x ∈ A2 e y ∈ A1, então x - y ∈ A2.
III. Se x ∈ A2 e y ∈ A2, então x . y ∈ A0.
Assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas, obtém-se a seguinte sequência:
F, F, V.
F, V, F.
V, V, F.
V, V, V.
V, F, V.
Gabarito:
V, F, V.
Para que um número N inteiro seja divisível por 4, ele deve ser da forma N = 4.n, com n inteiro.
Então, para um número deixar resto 1 na divisão por 4, ele deve ser da forma N = 4.n + 1. Analogamente, pra deixar resto 2 deve ser N = 4.n + 2 e para resto 3 deve ser N = 4.n + 3.
x + y = 4a + 4b + 1 + 3 = 4(a + b + 1) .:. Então x + y deixa resto 0, ou seja, é da forma N = 4*n. Verdadeira, realmente x + y ∈ A0
x - y = 4c + 2 - (4d + 1) = 4(c - d) + 1 .:. Então x - y deixa resto 1, ou seja, é da forma N = 4*n + 1. Falsa, pois x - y ∈ A1
x*y = (4e + 2)(4f + 2) = 16ef + 8e + 8f + 4 = 4(4ef + 2e + 2f + 1) + 0 .:. Então x + y deixa resto 0, ou seja, é da forma N = 4*n. Verdadeira, realmente x*y ∈ A0
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