Questão 2

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - MEDICINA)

Na figura abaixo, uma circunferência que tangencia os eixos coordenados, tem o centro C sobre a reta de equação. O ponto B está na interseção da reta com a circunferência e A é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.

Com base nessas informações, resolva os itens abaixo, justificando suas respostas.

A) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C.

B) Determine a distância entre os pontos A e B.

Gabarito:

Resolução:

Como C é um ponto da reta $y=frac{(21-4x)}{3}$ , podemos escrever $R=frac{(21-4R)}{3}$

Resolvendo a equação:

$3R=21-4R$

$7R=21$

$R=3$

A equação reduzida:

$(x-x_c)^2 + (y-y_c) = R^2$

Então a equação da circunferência:

$(x-3)^2 + (y-3) = 9$

Encontrando o ponto A:

$y_A=frac{(21-4 cdot 0)}{3}$

$y_A= 7$

Então $A = (0,7)$ :

Encontrando a distância de A e C:

$d_{A,C} = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2} = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{25 = 5}$

Encontrando a distância de A e B:

$d_{A,B} = d_{A,C} - d_{B,C} Rightarrow d_{A,B} = 5-3=2$

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