Questão 70

UFU 2021

Matemática

(UFU - 2021 - MEDICINA)

Sejam A e B matrizes quadradas e invertíveis, tais que 𝑥 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) e 𝑦 = 𝑑𝑒𝑡(𝐵) satisfaçam as equações

$frac{1}{x}+frac{1}{y} = 9;;; ext{e};;;frac{3}{x}+frac{4}{y} = 31$

Logo, é correto afirmar que det(𝐴²𝐵⁻¹) é igual a

$frac{4}{25}$

$frac{4}{21}$

$frac{4}{17}$

$frac{4}{11}$

Gabarito:

$frac{4}{25}$

Resolução:

Chamando $frac{1}{x} = m$ e $frac{1}{y} = n$ temos os sistema:

(I): $m+n=9$

(II): $3m+4n=31$

Fazendo 3(I)-(II):

$-n=-4$

$n=4$

Substituindo em (I):

$m+4=9$

$m=5$

Encontrando $x$ e $y$ :

$frac{1}{x} = 5 Rightarrow x = frac{1}{5}$

$frac{1}{y} = 4 Rightarrow y = frac{1}{4}$

Encontrando $ext{det}(A^2 cdot B^{-1})$ :

$ext{det}(A^2 cdot B^{-1})$

$ext{det}(A^2) cdot ext{det}(B^{-1})$

$(frac{1}{5})^2 cdot (frac{1}{4})^{-1}$

$frac{1}{25} cdot 4$

$frac{4}{25}$

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