Questão 71

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020 - 1ª fase) Sejam z₁ e z₂ duas raízes cúbicas de um número complexo w. Considerando-se as representações geométricas dessas raízes, sabe-se que z1 está situada no primeiro quadrante e que z₂ é da forma b.i, onde b é um número real negativo e i é a unidade imaginária.

Portanto, o coeficiente angular da reta que passa por z₁ e z₂ é igual a

$sqrt{3}$

$1$

$frac{sqrt{3}}{3}$

$frac{sqrt{3}}{2}$

Gabarito:

$sqrt{3}$

Resolução:

Sabe-se que uma equção cúbica sempre possui 3 raízes complexas e essas raízes serão simétricas em 120º.

Analisando as raízes dadas. podemos perceber que $z_1$ está localizada no eixo dos imaginários e $z_2$ está no 1º quadrante e com 30º com o eixo real, tudo conforme a figura abaixo:

Percebemos então que o ângulo ${OAZ_1}$ tem o valor de 120º, portanto a reta que passa por $z_1$ e $z_2$ irá cortar o eixo real em 60º, logo seu coeficiente angular $m$ será:

$m = an 60$

$m = sqrt{3}$

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