Questão 67

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020 - 1ª FASE) Em uma feira de troca de livros, João levou 3 livros e Maria levou 7 livros, sendo todos os 10 distintos. Assuma que, em uma troca, João recebe de Maria a mesma quantidade de livros que entrega, ou seja, um, dois ou três livros.

Considerando-se apenas o conjunto de livros que cada um obterá após a troca, de quantas maneiras os dois podem trocar seus livros?

210

119

359

Gabarito:

119

Resolução:

Como cada livro é trocado por outro e todos eles são destintos, temos de considerar a possibilidade de João trocar 1, 2 ou 3 livros e dos livros serem destintos, podemos determinar essa troca por combinação simples.

Para troca de 1 livro, João pode escolher 1 dos 7 livros de Maria e Maria pode escolher 1 dos 3 livros de João, então o total de trocas possíveis é:

$C_{3,1}cdot C_{7,1}$

$C_{3,1}cdot C_{7,1}=frac{3!}{1!cdot2!}cdot frac{7!}{1!cdot6!}$

$C_{3,1}cdot C_{7,1}=frac{3cdot2!}{2!}cdot frac{7cdot6!}{6!}$

$C_{3,1}cdot C_{7,1}=3cdot7=21$

Para troca de 2 livro, João pode escolher 2 dos 7 livros de Maria e Maria pode escolher 2 dos 3 livros de João, então o total de trocas possíveis é:

$C_{3,2}cdot C_{7,2}$

$C_{3,2}cdot C_{7,2}=frac{3!}{2!cdot1!}cdot frac{7!}{2!cdot5!}$

$C_{3,2}cdot C_{7,2}=frac{3cdot2!}{2!}cdot frac{7cdot6cdot5!}{2!cdot5!}$

$C_{3,2}cdot C_{7,2}=3cdotfrac{7cdot6}{2}$

$C_{3,2}cdot C_{7,2}=3cdot7cdot3=63$

Para troca de 3 livro, João pode escolher 3 dos 7 livros de Maria e Maria pode escolher 3 dos 3 livros de João, então o total de trocas possíveis é:

$C_{3,3}cdot C_{7,3}$

$C_{3,3}cdot C_{7,3}=frac{3!}{3!cdot0!}cdot frac{7!}{3!cdot4!}$

$C_{3,3}cdot C_{7,3}=frac{3!}{3!}cdot frac{7cdot6cdot5cdot4!}{3!cdot4!}$

$C_{3,3}cdot C_{7,3}=1cdotfrac{7cdot6cdot5}{6}$

$C_{3,2}cdot C_{7,2}=1cdot7cdot5=35$

Como vai acontecer uma troca ou outra precisa somar todas as possibilidades:

$C_{3,1}cdot C_{7,1}+C_{3,2}cdot C_{7,2}+C_{3,3}cdot C_{7,3}=21+63+35=119$

Portanto, há 119 trocas possíveis e a alternativa correta é a alternativa C)

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