Questão 68

UFU 2020

Matemática

(UFU - 2020 - 1ª FASE) Suponha-se que a progressão aritmética (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎20) satisfaça 𝑎3 + 𝑎18 = 256. Então, o valor de log4 (𝑎1 + 𝑎20)² é

16.

32.

Gabarito:

Resolução:

Pela fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, temos:

$a_n=a_1(n-1)cdot r$

Para $a_3$ e $a_{18}$ :

$a_{3} = a_1+2r$

$a_{18} = a_1+17r$

$a_3+a_{18} =(a_1+2r) +(a_1+17r)$

$a_3+a_{18} =2a_1+19r$

Para $a_1$ e $a_{20}$ :

$a_{1}=a_1$

$a_{20} = a_1+19r$

$a_1+a_{20} =a_1+a_1+19r$

$a_1+a_{20} =2a_1+19r$

$a_3+a_{18} =a_1+a_{20} =256$

Resolvendo o logaritmo de 256 na base 4:

$log _4(a_1+a_{20})^2= log _4(256)^2$

$log _4(a_1+a_{20})^2= log _4(16cdot16)^2$

$log _4(a_1+a_{20})^2= log _4(4^2cdot4^2)^2$

$log _4(a_1+a_{20})^2= log _4(4^4)^2$

$log _4(a_1+a_{20})^2= log _44^8$

$log _4(a_1+a_{20})^2= 8$

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