Questão 6383

UFSM 2003

Matemática

(UFSM - 2003) Se o gráfico da função f(x) = a + b (cos(2x) + sen(2x)) é dado por:

Então 5a² + 3b² vale:

Gabarito:

Resolução:

$f(x)=a+b(cos(2x)+sen(2x))$

Quando $x = frac{pi}{4} Rightarrow f(x)= 5$ :

$5 = a+b(cos(2frac{pi}{4}+sen2 frac{pi}{4}))$

Lembrando que $cos 2 frac{pi}{4}= cosfrac{pi}{2} = 0$ , então:

$5 = a + b(sen(frac{pi}{2}))$

$5 = a + b(1)$

$a+b = 5$

Quando $x = frac{-pi}{2} Rightarrow f(x)=1$

$1 = a+b(cos(2 frac{-pi}{2})+sen(2 frac{-pi}{2}) )$

$1 = a+b(cos(-pi)+sen(-pi) )$

$1 = a+b(-1+0 )$

$1 = a-b$

Assim, podemos montar o sistema:

$a+b = 5$

$a-b = 1$

$2a = 6$

$a = 3$

$a-b = 1 Rightarrow 3-b = 1 Rightarrow b = 2$

Assim:

$5a^2 + 3b^2 = 5 cdot 3^2 + 3 cdot 2^2 = 45 + 12 = 57$

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