Questão 69702

UFRGS 2020

Matemática

(UFRGS 2020)

O valor de $sqrt{left ( 1-frac{1}{2} ight ).left ( 1-frac{1}{3} ight ).left ( 1-frac{1}{4} ight )...left ( 1-frac{1}{100} ight )}$ é

$frac{1}{10}$

$frac{1}{100}$

Gabarito:

$frac{1}{10}$

Resolução:

Calculando os primeiros termos entre parênteses, temos:

$1-frac{1}{2} = frac{1}{2}$

$1-frac{1}{3} = frac{2}{3}$

$1-frac{1}{4} = frac{3}{4}$

$vdots$ $vdots$ $vdots$

$1-frac{1}{100} = frac{99}{100}$

Note que as frações nos indicam uma repetição, onde o numerador do próximo termo é o denominador do último e o denominador do próximo termo será o denominador do último acrescido de 1.

Dessa forma nossa raiz será:

$sqrt{frac{1}{2}cdot frac{2}{3}cdot frac{3}{4}cdot ext{ }... ext{ } cdot frac{98}{99}cdot frac{99}{100}}$

Com isso conseguiremos cancelar vários termos:

$sqrt{frac{1}{ ot{2}}cdot frac{ ot{2}}{ ot{3}}cdot frac{ ot{3}}{ ot{4}}cdot ext{ }... ext{ } cdot frac{ ot{98}}{ ot{99}}cdot frac{ ot{99}}{100}} = sqrt{frac{1}{100}} = frac{1}{10}$

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