Questão 66311

UFRGS 2020

Matemática

(UFRGS - 2020) Considere as seguintes afirmações sobre números racionais.

I. Se $0 < frac {a}{b} < frac {c}{d}$ , então $(frac {a}{b})^2< (frac {c}{d})^2$ .
II. Se $frac {a}{b} < 0 < frac {c}{d},$ então $frac {c}{d} + frac {a}{b} > 0$ .
III. Toda fração da forma $frac {a}{b}$ é irredutível.

Quais estão corretas?

Apenas I.

Apenas II.

Apenas III.

Apenas II e III.

I, II e III.

Gabarito:

Apenas I.

Resolução:

I. Se $0 < frac {a}{b} < frac {c}{d}$ , então $(frac {a}{b})^2< (frac {c}{d})^2$ .

Como $frac{a}{b}$ e $frac{c}{d}$ são positivos:

• $frac{a}{b} cdot frac{a}{b}< frac{c}{d} cdot frac{a}{b}$ ⇒ $left (frac{a}{b} ight )^2 < frac{c}{d} cdot frac{a}{b}$

• $frac{a}{b} cdot frac{c}{d}< frac{c}{d} cdot frac{c}{d}$ ⇒ $frac{c}{d} cdot frac{a}{b} < left ( frac{c}{d} ight )^2$

Assim: $left ( frac{a}{b} ight )^2 < frac{c}{d} cdot frac{a}{b} < left ( frac{c}{d} ight )^2$ . Alternativa correta.

II. Se $frac {a}{b} < 0 < frac {c}{d},$ então $frac {c}{d} + frac {a}{b} > 0$ .

Como $frac{a}{b}$ é negativo, então: $frac{a}{b}=-left | frac{a}{b} ight |$ . Como $frac{c}{d}$ é positivo, então $frac{c}{d}=left | frac{c}{d} ight |$ .

Assim: $frac{c}{d}+frac{a}{b}=left | frac{c}{d} ight |-left | frac{a}{b} ight |$ . Veja que, se o módulo $left | frac{a}{b} ight |$ for maior que o módulo $left | frac{c}{d} ight |$ , então $left | frac{c}{d} ight |-left | frac{a}{b} ight | <0$ , nesse caso.