Questão 10

UFPR 2016

Matemática

(UFPR - 2016 - 2ª FASE)

Dada a função polinomial $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x-2$ faça o que se pede:

a) Calcule $p(frac{-2}{5})$ .

b) Encontre as raízes de p(x).

Gabarito:

Resolução:

a) Calculando $p(frac{-2}{5})$ , teremos:

$p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x-2$

$pleft ( -frac{2}{5} ight )=left ( -frac{2}{5} ight )^{3}+2left ( -frac{2}{5} ight )^{2}-7left ( -frac{2}{5} ight )-2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow pleft ( -frac{2}{5} ight )= -frac{8}{125} + frac{8}{25} + frac{14}{5} -2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow pleft ( -frac{2}{5} ight )= frac{132}{125}$

b) Pegando os divisores do termo independente e testando, conseguimos perceber que 2 será uma das raízes

Fazendo a divisão de Briot-Ruffini, obtemos que:

Dessa forma, podemos reescrever o nosso polinômio, da seguinte forma:

$p(x) = (x-2)(x^2+4x+1)$

Encontrando as raízes do segundo termo, temos:

$x^2+4x+1 = 0$

$Delta = 16 - 4 = 12$

$x = frac{-4pm2sqrt{3}}{2} = -2 pmsqrt{3}$

Portanto, as raízes do polinômio serão 2 e $-2 pmsqrt{3}$ .

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