Questão 6

UFPR 2016

Matemática

(UFPR - 2016 - 2ª FASE)

Seja C₁ o círculo de raio $r=2$ e centro no ponto $P=(3,4)$ .

a) Qual é a equação do círculo C₁?

b) Considere o círculo C₂ definido pela equação $x^{2}+y^{2}=p^{2}$ . Para quais valores de p o círculo C₁ intersecta o círculo C₂?

Gabarito:

Resolução:

a) Usando a fórmula da equação reduzida de uma circunferência, temos:

$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2$

Substituindo com os valores apresentados no enunciado, temos:

$(x-3)^2 + (y-4)^2 = 2^2 Leftrightarrow (x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$

b) Temos dois casos para que as circunferências se intersectem, sendo:

i) As circunferências possuem apenas um ponto em comum. Com isso teremos que a distância entre os centros será igual à soma dos raios. Sendo d a distância entre os centros, e r₁ e r₂ os raios das circunferências 2 e 2, respectivamente, temos:

$d = r_1 + r_2$

ii) As circunferências possuem dois pontos em comum, portanto, a distância entre os centros é menor do que a soma dos raios e maior que o r₂, logo teremos que:

$r_2 < d < r_1 + r_2$

Unindo os dois casos temos:

$r_2 < d$ e $d leq r_1 + r_2$

Desenvolvendo, teremos:

$r_2 < d$

$p < sqrt{3^2+4^2} Leftrightarrow p < 5$

$d leq r_1 + r_2$

$sqrt{3^2+4^2} leq 2 + p Leftrightarrow 5 leq 2+p Leftrightarrow 3 leq p$

Portanto, temos que $3 leq p < 5$ .

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