Questão 38886

UERJ 2015

Matemática

Ao digitar corretamente a expressão $log_{10}(-2)$ em uma calculadora, o retorno obtido no visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real.

Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão $log_{0,1}(log_{10}(log_{0,1}(x)))$ seja um número real.

$left { x epsilon R/0<x<0,0001 ight }.$

$left { x epsilon R/0<x<0,001 ight }.$

$left { x epsilon R/0<x<0,01 ight }.$

$left { x epsilon R/0<x<0,1 ight }.$

$left { x epsilon R/0<x<1 ight }.$

Gabarito:

$left { x epsilon R/0<x<0,1 ight }.$

Resolução:

Para que $log_{0,1}(log_{10}(log_{0,1}(x)))$ tenha um valor real, todos os logaritmandos devem ser maiores do que zero, então:

$I) x>0$

$II) Log_{0,1} left (x ight )>0$

$III) Log_{10}left ( Log_{0,1} left ( x ight ) ight )>0$

Agora só precisamos resolver as inequações. É importante ressaltar que quando a base do logaritmo for entre 0 e 1 a desigualdade muda de lado.

$I) x>0$

$II)$ Nessa inequação a base do logaritmando está entre 0 e 1, então iremos trocar o lado da desigualdade:

$Log_{0,1} left (x ight )<0$

$x<0,1^{0}$

$x<1$

$III)$ Nessa inequação a base do logaritmo é maior que 1, então podemos resolver normalmente:

$Log_{10}left ( Log_{0,1} left ( x ight ) ight )>0$

$Log_{0,1} left ( x ight )>10^{0}$

$Log_{0,1} left ( x ight )>1$

Agora a base do logaritmo esta entre zero e um, então é necessário trocar o lado da igualdade:

$Log_{0,1} left ( x ight )<1$

$x <0,1^{1}$

$x <0,1$

A solução será a interseçõa das três soluções, então:

$S=left { x epsilon R/0<x<0,1 ight }$

Questão 38886

UERJ 2015

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