Questão 12232

UEG 2015

Matemática

(UEG - 2015 - Adaptada) Considere a função f(x) = sen(x) - 2sen²(x) + 4sen³(x) - 8sen⁴(x) + ..., que é a soma infinita dos termos de uma progressão geométrica. O valor de é

PS: Considere nesse caso que a condição de existência da soma de uma PG infinita seja $-1leq qleq 1$ . Mas lembre-se que isso não corresponde a realidade, pois a condição de existência é $-1< q< 1$

A

B

C

D

Gabarito:

Resolução:

1) A função f(x) = sen(x) - 2sen²(x) + 4sen³(x) - 8sen⁴(x) + ..., é a função que representa a soma infinita dos termos de uma progressão geométrica.

2) Analisando, temos que:

$a_1=sen(x)$

$a_2=-2sen^2(x)$

$a_3=4sen^3(x)$

$cdot cdot cdot$

3) A razão dessa progressão será

$q=frac{-2sen^2(x)}{sen(x)}=-2sen(x)$

4) Para , temos que:

$a_1=sen(frac{pi}{6})=frac{1}{2}$

$q=-2sen(frac{pi}{6})=-1$

5) Utilizando Soma de PG infinita:

$S=frac{a_1}{a-q}=frac{frac{1}{2}}{1-(-1)}=frac{1}{2} cdot frac{1}{2}= frac{1}{4}$

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