Questão 42688

UECE 2018

Matemática

(Uece 2018)

O valor da soma $mathrm{sen(x) + sen (x + pi) + sen (x + 2 pi) + sen (x + 3 pi) + ... + sen (x + n pi)}$ onde $mathrm{n}$ é um número natural par e menor do que 100 é

sen(x)

cos(x)

Gabarito:

sen(x)

Resolução:

Usando a propriedade trigonométrica:

$sen(a+b)=sen(a)cdot cos(b)+sen(b)cdot cos(a)$

Devemos lembrar que

$sen(k pi)=0,; k=1,2,3,4...$
$cos(k pi)=1,; k=0,2,4,6... (pares)$
$cos(k pi)=-1,; k=1,3,5,7... (impares)$

Abrimos os termos:

$sen(x+ pi)=sen(x)cdot cos( pi )+sen( pi)cdot cos(x)=-sen(x)$

$sen(x+2 pi)=sen(x)cdot cos(2 pi )+sen(2 pi)cdot cos(x)=sen(x)$

$sen(x+3 pi)=sen(x)cdot cos(3 pi )+sen(3 pi)cdot cos(x)=-sen(x)$
....
$sen(x+n pi)=sen(x)cdot cos(npi )+sen(n pi)cdot cos(x)=sen(x)$ (pois n é par!)

Em todos os termos, a segunda parte é igual a 0, pois o sen(nπ) é nulo e a primeira parte se alterna em +senx e -senx (de acordo com o sinal resultante do cos(nπ)).

Sendo assim, a soma dos termos, a partir do segundo em diante se anula, restando somente senx.

Questões relacionadas

Questão 32363

(UECE - 2018) No triângulo XYZ o ponto D, no lado YZ, pertence à mediatriz do lado XZ. Se XD é a bissetriz do ângulo interno no vértice X e se a medida do ângulo...

Ver questão

Questão 33449

No quadrilátero XYZW as medidas dos ângulos internos Z e W são respectivamente 128º e 76º. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se no ponto O, pode-se afirmar corretament...

Ver questão

Questão 42673

(Uece 2018) Se a base de um triângulo é aumentada de 10% e a altura diminuída de 10%, então, em relação à área do triângulo alterado, comparada com a área do triângulo inicial, é correto afirmar...

Ver questão

Questão 42679

(Uece 2018) Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são respectivamente e e se a medida do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a medida, em metros, do terceiro lado...

Ver questão