Questão 37430

UDESC 2018

Física

Considere a figura abaixo na qual o sistema está em equilíbrio com as três massas em repouso. Os fios e as polias são ideais e possuem massa desprezável.

I. Se $m_{1}=m_{2}$ , então $Theta _{1}=Theta _{2}$

II. Se $m _{2}=2m _{1}$ , então $Theta _{1}=2Theta _{2}$

III. Se $m_{3}=m_{1}+m_{2}$ , então a razão entre as trações nos fios 1 e 2 é $frac{T_{1}}{T_{2}}=frac{(cosTheta _{2}-1)}{(1-cosTheta _{1})}$

IV. Se todas as massas forem iguais então $cosTheta _{1}+cosTheta _{2}=1$

V. Se $m_{3}=m_{2}-m_{1}$ , então a razão entre as trações nos fios 1 e 2 é $frac{T_{1}}{T_{2}}=frac{(cosTheta _{2}+1)}{(cosTheta _{1}+1)}$

Assinale a alternativa correta.

Somente as afirmativas II, III e V são verdadeiras.

Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.

Somente as afirmativas III, IV e V são verdadeiras.

Somente as afirmativas I, II e V são verdadeiras.

Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.

Gabarito:

Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.

Resolução:

Para o eixo x ao decompormos as duas tensões temos:

$\T1x=T2x\ T1x=T1.sen(Theta 1)Rightarrow T1=P1=m1g \ T2x=T2.sen(Theta 2)Rightarrow T2=P2=m2g \ m1g.sen(Theta 1)=m2g.sen(Theta 2)Rightarrow m1.sen(Theta 1)=m2.sen(Theta 2) (I)$

se m1 = m2 temos que $sen(Theta 1)=sen(Theta 2)Rightarrow Theta 1=Theta 2$

se m2=2m1 observando a equação (I) temos

$m1.sen(Theta 1)=2m1.sen(Theta 2) Rightarrow sen(Theta 1)=2sen(Theta 2)$ isso não implica que $Theta 1=2Theta 2$ basta jogar um valor conhecido por exemplo se theta 1 valesse 30° seu seno vale 0,5, se essa relação estivesse certa theta2 valeria 60° seu seno vale $frac{sqrt{3}}{2}$ e não é a metade do sen de (30)

Vamos olhar no eixo y agora:

$\P3=T1y+T2yRightarrow P3=T1.cos(Theta 1)+T2.cos(Theta 2)Rightarrow\ m3g=m1g.cos(Theta 1)+m2g.cos(Theta 2)\ m3=m1cos(Theta 1)+m2.cos(Theta 2) (II)$

sem m3=m1+m2 entãopela equação (II)

$\m1+m2=m1cos(Theta 1)+m2.cos(Theta 2)Rightarrow \m1-m1cos(Theta 1)=m2.cos(Theta 2)-m2Rightarrow \ m1(1-cos(Theta 1))=m2(cos(Theta 2)-1)Rightarrow \ frac{m1}{m2}= frac{(cos(Theta 2)-1)}{(1-cos(Theta 1)}$

lembrando do começo da resolução que T1=P1 e T2=P2 então temos:

$\T1=m1gRightarrow m1=frac{T1}{g} / m2=frac{T2}{g} ightarrow \ \ frac{m1}{m2}= frac{(cos(Theta 2)-1)}{(1-cos(Theta 1)}Rightarrow frac{frac{T1}{g}}{frac{T2}{g}}=frac{(cos(Theta 2)-1)}{(1-cos(Theta 1)}\ \frac{T1}{T2}=frac{(cos(Theta 2)-1)}{(1-cos(Theta 1)}$

Se todas as massas forem iguais voltando na Equação (II)

$\m3=m1cos(Theta 1)+m2.cos(Theta 2) dividindo os dois lados por m:\ 1=cos(Theta 1)+cos(Theta 2)$

Se m3=m2-m1 pela Equação (II) novamente:

$\m3=m1cos(Theta 1)+m2.cos(Theta 2)Rightarrow \ m2-m1=m1cos(Theta 1)+m2.cos(Theta 2)Rightarrow \m1+m1cos(Theta 1)= m2-m2cos(Theta 2)Rightarrow \ m1(1+cos(Theta 1))=m2(1-cos(Theta 2))Rightarrow \ frac{m1}{m2}=frac{(1-cos(Theta 2))}{(1+cos(Theta 1))}Rightarrow \ frac{T1}{T2}=frac{(1-cos(Theta 2))}{(1+cos(Theta 1))}$

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