Questão 12484

Matemática

(Udesc 2009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) A equação x² - 2x + y² + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.

( ) A elipse de equação 9x² + 4y² = 36 intercepta a hipérbole de equação x² - 4y² = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.

( ) O semieixo maior da elipse 9x² + 4y² = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x² - 4y² = 4.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.

V - V - V

V - V - F

F - V - F

F - F - V

V - F - F

Gabarito: V - V - F

Resolução:

(V) A equação x² - 2x + y² + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.

1) $mathrm{Reescrever}:x^2-2x+y^2+2y+1=0:mathrm{com:a:forma:da:equação:geral:da:circunferência}$

$left(x^2-2x ight)+left(y^2+2y ight)=-1$

1.1) Completar quadrados:

$left(x^2-2x+1 ight)+left(y^2+2y+1 ight)=-1+1+1$

1.2) Converter para a forma quadrática e simplificar:

$left(x-1 ight)^2+left(y-left(-1 ight) ight)^2=1^2$

2) Logo, trata-se de uma $mathrm{Circunferência:com:centro:em}:left(1,:-1 ight):mathrm{e:raio}:r=1$

3) Logo, ela é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.

(V) A elipse de equação 9x² + 4y² = 36 intercepta a hipérbole de equação x² - 4y² = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.

1) $mathrm{Reescrever}:9x^2+4y^2=36:mathrm{com:a:forma:da:equação:geral:da:elipse}$

$frac{x^2}{4}+frac{y^2}{9}=1$

1.2) Logo trata-se de uma $mathrm{Elipse:com:centro}:left(h,:k ight)=left(0,:0 ight),::mathrm{semieixo:maior}:b=3,::mathrm{semieixo:menor}:a=2$

2) $mathrm{Reescrever}:x^2-4y^2=4:mathrm{com:a:forma:da:equação:geral:da:hipérbole}$

$frac{x^2}{4}-frac{y^2}{1}=1$

2.1) Logo, trata-se de uma $mathrm{Hipérbole:com:abertura:leste-oeste:com}:left(h,:k ight)=left(0,:0 ight),:a=2,:b=1$

3) Logo, temos que eles se encontram em apenas 2 pontos.

4) Por sistema, podemos subtrair a equação da hipérbole da equação da elipse:

$frac{x^2}{4}-frac{x^2}{4}+frac{y^2}{9}+frac{y^2}{1}=1-1$

$y^2 cdot left ( frac{1}{9}+1 ight )=0$

Logo, eles só se encontram quando y=0 e $xpm 2$ .

(F) O semieixo maior da elipse 9x² + 4y² = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x² - 4y² = 4.

O eixo real é perpendicular ao semieixo maior da elipse. Logo, é falso.