Questão 6928

Matemática

(MACKENZIE - 2015) A soma das raízes da equação cos2x + cos4x = 0, no intervalo [0, π], é

Gabarito:

Resolução:

1) $cos left(2x ight)+cos left(4x ight)=0$

2) Usando a identidade:

$cos left(s ight)+cos left(t ight)=2cos left(frac{s+t}{2} ight)cos left(frac{s-t}{2} ight)$

$2cos left(frac{-2x+4x}{2} ight)cos left(frac{2x+4x}{2} ight)=0$

4) Simplificando:

$2cos left(x ight)cos left(3x ight)=0$

5) Logo, temos que $cos left(3x ight)=0quad mathrm{ou}quad cos left(x ight)=0$

6) $cos left(3x ight)=0$

Solução geral:

$3x=frac{pi }{2}+2pi n ou 3x=frac{3pi }{2}+2pi n$

6.1) Simplificando:

$x=frac{pi }{6}+frac{2pi n}{3} ou x=frac{pi }{2}+frac{2pi n}{3}$

6.2) Para o intervalo [0, π] as soluções serão:

$frac{pi }{6}, frac{5pi }{6}, frac{pi }{2}$

7) $cos left(x ight)=0$

7.1) Solução geral:

$x=frac{pi }{2}+2pi n,:x=frac{3pi }{2}+2pi n$

7.2) Para o intervalo [0, π] as soluções serão:

$frac{pi }{2}$

8) Logo, a soma das raízes da equação cos2x + cos4x = 0, no intervalo [0, π], é]

$frac{pi }{6} + frac{5pi }{6} + frac{pi }{2} = pi +frac{pi }{2} = frac{3pi }{2}$