Questão 7308

Matemática

(MACKENZIE - 2011) Dadas as funções reais definidas por considere as afirmativas I, II, III e IV abaixo.

I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.

III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.

IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x).

O número de afirmações corretas é

Gabarito:

Resolução:

I - Temos que a função será simétrica em relação às ordenadas quando f(x)=f(=x) e g(x)=g(-x).

$\g(-x)=|-x^2-4(-x)| ightarrow |-x^2+4x|\ g(x)=|x^2-4x|$

Diferentes, falsa.

II - Temos que:

$\f(x)=g(x)\ |x^2|-4|x|=|x^2-4x|$

Analisando, podemos afirmar que para qualquer x maior que 4, a função será a mesma, sendo assim temos infinitas soluções para f(x)=g(x).

III - As raízes de f(x):

$\|x^2|-4|x|=0\\ x<0\ x^2+4x=0 ightarrow x^2=-4x ightarrow x=-4\\xgeq 0\ x^2-4x=0 ightarrow x^2=4x ightarrow x=4$

Além da solução trivial x=0.

As raízes de g(x):

$\|x^2-4x|=0\\ x^2-4x<0\ -x^2+4x=0 ightarrow x^2=4x ightarrow x=4\\x^2-4xgeq 0\ x^2-4x=0 ightarrow x^2=4x ightarrow x=4$

Além da solução trivial x=0.

Temos então que a soma das soluções é: -4+4+0+4+0=4.

Verdadeiro.

IV - Entre 0 e 4 f(x) será negativo, enquanto g(x) será sempre positivo, dessa forma f(x) pode ser menor que g(x). Falso.

Letra B